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LU分解（LU Factorization）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个方阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积，广泛应用于解线性方程组、求逆矩阵和计算行列式等问题。
LU分解的基本概念
LU分解的核心是将一个n×n的方阵A分解为两个三角矩阵的乘积，即A=LU。其中：
- L（Lower triangular matrix）：下三角矩阵，主对角线元素通常为1。1
- U（Upper triangular matrix）：上三角矩阵，主对角线及其上方元素非零。2
存在性与唯一性条件
- 存在性：当方阵A的所有顺序主子式（即左上角k×k子矩阵的行列式）均不为零时，A可进行LU分解。2
- 唯一性：若采用Doolittle法（L为单位下三角矩阵）或Crout法（U为单位上三角矩阵），分解结果唯一。2
主要应用场景
- 解线性方程组：通过分解A=LU，将Ax=b转化为Ly=b和Ux=y两步求解，计算效率高于直接高斯消元法。3
- 求逆矩阵与行列式：利用三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积的特性，简化计算。14
- 数值分析：适用于需要多次求解同一系数矩阵不同右端项的问题。3
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lu分解条件 - 百度文库
lu分解条件 - 百度文库
矩阵LU分解 矩阵分解的一种方式,将矩阵A分解为L和U两个矩阵,且满足 A = LU: ① L(Lower Triangle Matrix)指的是下三角矩阵(且为单位下三角矩阵),单位下三角矩阵即矩阵主对角线元素等于1,且主对角线上方元素全等于0; ② U(Uppder Triangle Matrix)指的是上三角矩阵,上三角矩阵即主对角线下方元素全等于0; 分解条件:
这种分解方法在数值计算中非常常用,可以用于求解线性方程组、求矩阵的行列式和逆矩阵等问题。LU分解的原理比较简单,本文将对其进行详细介绍。 1. LU分解的定义 LU分解是将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程,即A=LU。其中,L是一个下三角矩阵,U是一个上三角矩阵。下三角矩阵指除主...
三角分解法的步骤如下：1. 对矩阵A进行LU分解，令 L 的对角线元素为1.2. 解方程 Ly=b，求出y。3. 解方程 Ux=y，求出x。步骤1中，我们首先将矩阵A进行初等变换，使其变为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式，即 \begin{align} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ ...
左向和右向LU分解是指LU分解的两种不同的执行顺序。 左向LU分解是指先对矩阵A进行消元,将A分解为一个下三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。消元过程中,从第1行开始,每一行只对该行下方的元素进行消元操作。最终得到一个下三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。 右向LU分解是指先对矩阵A进行消...
2023年12月1日LU 分解又叫 Doolittle 分解,它是将一个矩阵 A 分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积。 LU 分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将矩阵 A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵,其变换矩阵就是一个下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法(Doolittle algorithm):从下至上地对矩阵 A ...
线性代数随笔:矩阵LU分解 - 知乎
2024年05月31日-➤ 矩阵LU分解 矩阵分解的一种方式,将矩阵A分解为L和U两个矩阵,且满足 A = LU: ① L(Lower Triangle Matrix)指的是下三角矩阵(且为单位下三角矩阵),单位下三角矩阵即矩阵主对角线元素等于1,且主对角线上方元素全等于0; ② U(Uppder Triangle Matrix)指的是上三角矩阵,上三角矩阵即主对角线下方元素全等...矩阵的LU分解 - 知乎
2023年09月05日-LU分解(LU decomposition)定义,一个矩阵A能被分解成 A=LU ,其中L是单位下三角阵,U是上三角阵. 注意如果矩阵A不能通过初等行变换(不包括行交换)变换成行阶梯型矩阵U,则该矩阵没有LU分解 *计算LU矩阵 我们先看一个例子求解 A=\begin{bmatrix} 1& -1& 2\\ 3& -1& 7\\ 2& -4& 5 \end{bmatrix...数值分析 | 线性方程组的直接解法 : LU 分解法 - 知乎
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2023年8月13日LU分解与配方法 实际效果对比(matlab) 使用LU分解中的一些特例 A AA矩阵中主元(位于第一行第一列的元素)为0 LU分解后U UU为非满秩 LU分解的推广1——LDU分解 LU分解的推广2——Crout分解 LU分解 LU分解简介 LU分解是矩阵因式分解的一种,也叫Doolittle分解。旨在将A x = b Ax = bAx=b中的矩阵A AA表示...
2024年9月30日标准LU分解中的LLL的行列式为1 在标准LU分解中,我们要求下三角矩阵LLL的主对角线元素全为1,即l11=l22=⋯=lnn=1l_{11} = l_{22} = \dots = l_{nn} = 1l11=l22=⋯=lnn=1。因此,对于标准LU分解的LLL矩阵,其行列式为: det(L)=1×1×⋯×1=1 \det(L) = 1 \times 1 \...
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