德鲁伊！大自然已经听命于我了！
死亡之翼长子奈法利安
ZKW天下第一！
摘自某群聊天记录
ZKW线段树，即非递归形式的线段树，出自终极大犇ZKW的论文《统计的力量》。与普通的线段树相比，ZKW线段树由于是非递归形式，效率极高，代码也极短，成为了OI比赛中极为实用的优化算法之一。虽然ZKW线段树无法处理有运算优先级的线段树问题，但是在一般的问题上和常数偏大的问题上总能带来极强的游戏体验。
ZKW线段树的建树
普通线段树 1 / 2 3 <---------------"弱小，可伶又无助" / \ 4 5
ZKW线段树 1 / 10 11 <---------------"天下第一！" / \ / 100 101 110 111
那么接下来进入我们的分析环节：小学生找规律。
通过观察，我们可以发现：线段树对应叶子节点的下标和原数组的下标的差值是恒定的
事实上，这个值几乎恒等于线段树数组里叶子节点的数量。
事实上，该值\(num\)满足：\[num=2^{[log_2(n+1)]} \]
于是我们可以先将线段树建为一棵满二叉树，然后我们从叶子节点开始回溯即可。
定义
#define maxn 10000int n,num;int minv[maxn<<2];
其中，minv为线段树数组，n为总节点数量，N即为上文提到的N。
那么完整的建树代码如下
inline int ksm(int x,int y){ int res=1; while(y){ if(y&1)res*=x%p; x*=x%p; y>>=1; } return res;}inline void build(){ scanf("%d", &n); N=ksm(2,log2(n+1)); for(register int i=N+1;i<=N+n;i++)cin>>minv[i]; for(register int i=N-1;i>=1;i--)minv[i]=minv[i<<1]+minv[i<<1|1];}
ZKW线段树的修改&查询
单点修改与单点查询
代码量很少，背模板即可
单点更新
inline void update(int x,int k){ for(register int i=x+N;i;i>>=1)tree[i]+=k;}
区间(单点)查询
inline int query(int l,int r){ int ans=0; for(l=N+l-1,r=N+r+1;s ^ r ^ 1;s>>=1,r>>=1){ if(~s&1)ans+=tree[s ^ 1]; if(r&1)ans+=tree[r ^ 1]; } return ans;}
ZKW线段树单点操作
#include<bits/stdc++.h>#define maxn 10000using namespace std;int n,N;int a[maxn];int ansv[maxn<<2];inline int ksm(int x,int y){ int res=1; while(y){ if(y&1)res*=x%p; x*=x%p; y>>=1; } return res;}inline void build(int n){ N=ksm(2,log2(n+1)); for(register int i=N+1;i<=N+n;i++)ansv[i]=a[i]; for(register int i=N-1;i>=1;i--)ansv[i]=ansv[i<<1]+ansv[i<<1|1];}inline void update(int x,int k){ for(register int i=x+N;i;i>>=1)ansv[i]+=k;}inline int query(int l,int r){ int ans=0; for(l=N+l-1,r=N+r+1;s ^ r ^ 1;s>>=1,r>>=1){ if(~s&1)ans+=tree[s ^ 1]; if(r&1)ans+=tree[r ^ 1]; } return ans;}
区间修改与区间查询
与普通线段树类似的，我们在ZKW线段树上也不能使用暴力的方式进行区间修改。在ZKW线段树上做暴力修改的复杂度甚至比普通线段树更高。同时，在ZKW线段树中我们仍然需要使用到lazy标记。然而不同的是，在ZKW线段树中我们会将lazy标记永久固化，即永远不对标记做pushdown操作。
我们假定现在指定了一个区间\([l,r]\)，使得区间的每一个值全部加上\(k\)，并使得\(l=2,r=10\)。
当\(l\)到了\([2,2]\)节点时，显然\([3,3]\)节点需要被标记上\(k\)，那么接下来我们走到的\([2,3]、[0,3]\)节点都会被标记上\(k*1\)，等我们到达\([0,7]\)节点时，因为\([4,7]\)已经被标记了\(k\)，所以\([0,7]\)节点的值要加上\(k*(1+4)=k*5\)，自然我们需要一个变量来存储\(k\)的系数。
需要注意的是，这次的修改要上推到根节点
inline void update(int l,int r,int k) { int lNum=0,rNum=0,nNum=1; for(l=N+l-1,r=N+r+1;l ^ r ^ 1;l>>=1,r>>=1,nNum<<=1){ ansv[l]+=k*lNum; ansv[r]+=k*rNum; if(~s&1){ lazy[s ^ 1]+=k; ansv[s ^ 1]+=k*nNum; lNum += nNum; } if(t&1){ lazy[t ^ 1]+=k; ansv[t ^ 1]+=k*nNum; rNum+=nNum; } } for(;l;l>>=1,r>>=1){ ansv[l]+=k*lNum; ansv[r]+=k*rNum; } }
区间查询的过程类似。
inline int query(int l, int r){ int lNum=0,rNum=0,nNum=1; int ans=0; for(l=N+l-1,r=N+r+1;l ^ r ^ 1;l>>=1,r>>=1,nNum<<=1){ if(lazy[l])ans+=lazy[l]*lNum; if(lazy[r])ans+=lazy[r]*rNum; if(~l&1){ ans+=ansv[l ^ 1]; lNum+=nNum; } if(r&1){ ans+=ansv[r ^ 1]; rNum+=nNum; } } for(;l;l>>=1,r>>=1) { ans+=lazy[l]*lNum; ans+=lazy[r]*rNum; } return ans;}
线段树区间操作代码
#include<bits/stdc++.h>#define maxn 10000using namespace std;int n,N;int a[maxn];int ansv[maxn<<2],lazy[maxn<<2];inline int ksm(int x,int y){ int res=1; while(y){ if(y&1)res*=x%p; x*=x%p; y>>=1; } return res;}inline void build(int n){ N=ksm(2,log2(n+1)); for(register int i=N+1;i<=N+n;i++)ansv[i]=a[i]; for(register int i=N-1;i>=1;i--)ansv[i]=ansv[i<<1]+ansv[i<<1|1];}inline void update(int l,int r,int k) { int lNum=0,rNum=0,nNum=1; for(l=N+l-1,r=N+r+1;l ^ r ^ 1;l>>=1,r>>=1,nNum<<=1){ ansv[l]+=k*lNum; ansv[r]+=k*rNum; if(~l&1){ lazy[l ^ 1]+=k; ansv[l ^ 1]+=k*nNum; lNum += nNum; } if(r&1){ lazy[r ^ 1]+=k; ansv[r ^ 1]+=k*nNum; rNum+=nNum; } } for(;l;l>>=1,r>>=1){ ansv[l]+=k*lNum; ansv[r]+=k*rNum; } }inline int query(int l, int r){ int lNum=0,rNum=0,nNum=1; int ans=0; for(l=N+l-1,r=N+r+1;l ^ r ^ 1;l>>=1,r>>=1,nNum<<=1){ if(lazy[l])ans+=lazy[l]*lNum; if(lazy[r])ans+=lazy[r]*rNum; if(~l&1){ ans+=ansv[l ^ 1]; lNum+=nNum; } if(r&1){ ans+=ansv[r ^ 1]; rNum+=nNum; } } for(;l;l>>=1,r>>=1) { ans+=lazy[l]*lNum; ans+=lazy[r]*rNum; } return ans;}
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