广播的原则

如果两个数组的后缘维度(从末尾开始算起的维度)的轴长度相符或其中一方的长度为1，则认为它们是广播兼容的。广播会在缺失维度和(或)轴长度为1的维度上进行。

在上面的对arr每一列减去列平均值的例子中，arr的后缘维度为3，arr.mean(0)后缘维度也是3，满足轴长度相符的条件，广播会在缺失维度进行。

这里有点奇怪的是缺失维度不是axis=1，而是axis=0，个人理解是缺失维度指的是两个arr除了轴长度匹配的维度，在上面的例子中,正好是axis=0。这块欢迎指正

arr.mean(0)沿着axis=0广播，可以看作是把arr.mean(0)沿着竖直方向复制4份,即广播的时候arr.mean(0)相当于一个shape=(4,3)的数组,数组的每一行均相同,均为arr.mean(0)

为了了解这个原则，首先我们来看一组例子：

# 数组直接对一个数进行加减乘除，产生的结果是数组中的每个元素都会加减乘除这个数。
In [12]: import numpy as np
In [13]: a = np.arange(1,13).reshape((4, 3))
In [14]: a * 2
Out[14]: array([[ 2, 4, 6],
    [ 8, 10, 12],
    [14, 16, 18],
    [20, 22, 24]])
# 接下来我们看一下数组与数组之间的计算
In [17]: b = np.arange(12,24).reshape((4,3))
In [18]: b
Out[18]: array([[12, 13, 14],
    [15, 16, 17],
    [18, 19, 20],
    [21, 22, 23]])
In [19]: a + b
Out[19]: array([[13, 15, 17],
    [19, 21, 23],
    [25, 27, 29],
    [31, 33, 35]])
In [20]: c = np.array([1,2,3])
In [21]: a+c
Out[21]: array([[ 2, 4, 6],
    [ 5, 7, 9],
    [ 8, 10, 12],
    [11, 13, 15]])
In [22]: d = np.arange(10,14).reshape((4,1))
In [23]: d
Out[23]: array([[10],
    [11],
    [12],
    [13]])
In [24]: a + d
Out[24]: array([[11, 12, 13],
    [15, 16, 17],
    [19, 20, 21],
    [23, 24, 25]])
# 从上面可以看出，和线性代数中不同的是，m*n列的m行的一维数组或者n列的一维数组也是可以计算的。

这是为什么呢？这里要提到numpy的广播原则：

如果两个数组的后缘维度(从末尾开始算起的维度)的轴长度相符或其中一方的长度为1，则认为它们是广播兼容的。广播会在缺失维度和(或)轴长度为1的维度上进行。

在上面的代码中，a的维度是（4，3），c的维度是（1，3）；d的维度是（4，1）。所以假设有两个数组，第一个的维度是（x_1, y_1, z_1），另一个数组的维度是（x_2, y_2, z_2），要判断这两个数组能不能进行计算，可以用如下方法来判断：

if z_1 == z_2 or z_1 == 1 or z_2 == 1:
 if y_1 == y_2 or y_1 == 1 or y_2 == 1:
  if x_1 == x_2 or x_1 == 1 or x_2 == 1:
   可以运算
  else:
   不可以运算
 else:
  不可以运算
else:
 不可以运算

这里需要注意：（3，3，2）和（3，2）是可以运算的，因为对于二维数组（3，2）也可以表示为（1，3，2），套用上述的规则是完全适用的，同理：（4，2，5，4）和（2，1，4）也是可以进行运算的。

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