在之前的基于内容的推荐系统中，对于每一部电影，我们都掌握了可用的特征，使用这
些特征训练出了每一个用户的参数。相反地，如果我们拥有用户的参数，我们可以学习得出
电影的特征。

　　但是如果我们既没有用户的参数，也没有电影的特征，这两种方法都不可行了。协同过滤算法可以同时学习这两者。

我们的优化目标便改为同时针对??和??进行。

对代价函数求偏导数的结果如下：

注：在协同过滤从算法中，我们通常不使用方差项，如果需要的话，算法会自动学得。

　　协同过滤算法使用步骤如下：

1. 初始 ??(1), ??(1), . . . ??(????), ??(1), ??(2), . . . , ??(????)为一些随机小值
2. 使用梯度下降算法最小化代价函数
3. 在训练完算法后，我们预测(??(??))????(??)为用户 ?? 给电影 ?? 的评分
通过这个学习过程获得的特征矩阵包含了有关电影的重要数据，这些数据不总是人能读懂的，但是我们可以用这些数据作为给用户推荐电影的依据。

例如，如果一位用户正在观看电影 ??(??)，我们可以寻找另一部电影??(??)，依据两部电影
的特征向量之间的距离∥??(??) − ??(??)∥的大小来判别。