三、分布

3.1 累计函数和概率密度函数

参考网站：累计函数和概率密度函数
①离散型数据
概率函数（概率分布、分布律）：离散随机变量X取不同的值，对应不同的概率值。
概率分布函数（累计概率函数）F(x)：概率函数取值的累加结果。

②连续型数据
概率密度函数（连续型数据概率函数）f(x)：连续型数据，某点的概率为0。只能用某点数据密集程度表示概率分布情况。

左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形，右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像，它们之间的关系就是，概率密度函数是分布函数的导函数。

3.4 正态分布（Normal Distribution）

（1）正态分布描述现象

普通分布，描述某些稳定但又受到一些偶然因素影响的现象。

（2）正态分布概率密度函数

（3）正态分布密度函数数学意义

f(x)永远大于0，左右对称，当x=μ，即等于均数时，概率密度函数达到最大值；
x离均数越远，f(x)值越小，距离无限远时，趋于0；
标准差σ越大，f(x)值越小，分布形状越“矮”，峰度平坦；反之，越’瘦高‘。

正态分布由两个参数决定：均数和标准差。均数是位置参数，决定分布集中的位置；标准差是形状参数，决定分布的分散程度。

（4）正态分布统计规律

1倍标准差面积：68.2%
1.96倍标准差：95%
2倍标准差：95.4%
3倍标准差：99.7%，1000大概会有3次错误发生的概率。
6倍标准差：之外的面积为百万分之2。100万份样品出现2次错误。

（5）小概率事件（P<0.05）

P<0.05，认为差异有统计学意义。对于正态分布来说，两侧面积小于5%。即均数往左往右各1.96倍标准差时，对应的左侧和右侧面积之和就是5%。这个概率很低，一般情况不会发生，认为是小概率事件。

（6）标准正态分布（Standarized Normal Distribution）——μ=0，σ=1

3.5 几个常见分布：t分布、x2分布，F分布

T检验对应t分布，x2检验对应x2分布，方差分析对应F分布。

（1）T分布

（2）x2分布

（3）F分布

四、数据资料分类

五、描述统计

六、中心极限定理和大数定理

七、假设检验

7.2 零假设和备择假设

零假设（无效假设Null Hypothesis）：一般从正面做出假设（不具备XXX，没有XXX等）。

八、参数估计

九、置信区间

十、统计方法串讲

10.1 一般线性模型（General Linear Model）——方差分析与线性回归统计

①t检验、方差分析、线性回归用途

t检验——两组均值比较
方差分析——多组均值比较
线性回归——自变量对因变量的影响分析
②一般线性模型
t检验、方差分析、线性回归等都属于一般线性模型，一般线性模型基本形式：

??y：因变量（反应变量、结局变量），x：自变量（解释变量、预测变量）。β0表示截距，反映自变量x=0时，y的均值。β1、β2表示斜率，反映自变量增加1单位，y值变动的大小。
??一般线性模型中，因变量必须是定量的（连续），自变量可以是定量或分类。自变量的不同形式对应不同的统计方法：

十一、正态性和方差齐性

①做正态性检验必要性
??保证样本数据的随机性，因为随机数就是正态分布的。
②正态性和方差齐性含义
??正态性和方差性是经典统计模型应用的两个前提条件，t检验、方差分析、线性回归等都需要满足这两个条件：

正态性（Normality）：严格上说是残差要符合正态分布，不过实际中都是对因变量进行正态性检验。
方差齐性（Equality of Variances）：即方差相等，自变量x每取一个值，因变量（严格说是残差）的方差基本相等。

11.1 用统计检验方法判断正态性

（1）基于峰度和偏度的SW（Shapiro-Wilk）检验

①峰度和偏度

峰度（Kurtosis）：分布形状是平坦还是尖峰，上下维度。
偏度（Skewness）：分布形状是否对称，左右维度。
②正态分布的峰度和偏度
??正态分布的峰度和偏度均为0。峰度>0，尖峰；峰度<0，平坦峰。偏度>0，右偏态（正偏）；偏度<0，左偏态（负偏）。

（2）基于拟合优度KS、CVM、AD检验

KS（Kolmogorov-Smirnov）、CVM（Cramer-von Mises）、AD（Anderson-Darling）
①拟合优度思想
??基于理论分布与基于实际数据得到的分布之间的差异。这种思想不仅可以用于正态分布，还可以用于其他分布检验。
②正态分布拟合优度检验思路
??先求出正态分布的累积分布函数（CDF，Cumulative Distribution Function）——>样本数据与该函数差别——>差别不大，接近正态分布——>差别较大，样本数据可能不服从正态分布。
③三种方法对“差别”的定义
三种检验都基于此思想，区别在于对“差别”定义：

KS：取绝对值
CVM：取平方
AD：对CVM的改进

④参考网站
KS：KS
python正态检验方法：python正态检验方法

11.2 用描述的方法判断正态性——图形判断

（1）Q-Q图和P-P图

①Q-Q图含义和检验原理
??Q-Q（Quantile-Quantile），分位数-分位数图。横坐标，理论正态分位数，纵坐标，实际数据分位数。
??比较分位数和实际分位数差别。无差别，点集中在一条直线，正态分布。有差别，偏离直线较远。
②P-P图
??P-P（Probability-Probability），和Q-Q类似，用的是累计概率。