经验首页 前端设计 程序设计 Java相关 移动开发 数据库/运维 软件/图像 大数据/云计算 其他经验
当前位置:技术经验 » 其他 » 职业生涯 » 查看文章
南京大学2021年春季学期《微分几何》期末考试
来源:cnblogs  作者:阆苑祁寒  时间:2021/6/28 9:22:02  对本文有异议

南京大学2021年春季学期《微分几何》期末考试

限时2小时。考试时间:2021年6月24日。

一、(10分)平面正则闭曲线相对曲率 \(k_r(s)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-s^2}}\) ,其中 \(s\) 是弧长参数,求平面曲线.

二、(20分)平面正则闭曲线在半径为 \(r\) 的圆盘内,证明曲线上存在一点 \(p\) 使得 \(|k_r(p)|\ge\dfrac{1}{r}\) .

三、(20分)直线与平面正则闭凸曲线相交,证明有两个交点或相切,由此证明与该曲线相交的直线(不计重数)集合的测度为弧长.

四、(10分)证明球面正则闭曲线全挠率 \(\dfrac{1}{2\pi}\oint_C\tau(s)ds=0\mod 1\) ,其中 \(s\) 是弧长参数.

五、(20分)证明正则曲面非脐点处主曲率光滑,脐点处主曲率连续.

六、(20分)环面 \(T:x(u,v)=((a+r\cos u)\cos v,(a+r\cos u)\sin v,r\sin u)\) ,其中 \(a>r>0,0\le u,v<2\pi\) ,计算 \(\iint_T KdA\) 和欧拉示性数.

考察相对曲率的定义,设 \(T=\cos\theta e_1+ \sin\theta e_2\)\(k_r=\theta'\) .

\(\partial D_R,R\le r\) 是包含闭曲线的最小圆周,设参数表示为 \(y\) ,取交点 \(p\) ,二阶Taylor展开,注意到曲线和最小圆周共切线,不妨设 \(k_r>0\) ,则 \(2\dfrac{(x-p)\cdot T}{[(x-p)\cdot N]^2}\ge 2\dfrac{(y-p)\cdot T}{[(y-p)\cdot N]^2}\) ,取极限立得 \(k_r\ge\dfrac{1}{R}\ge\dfrac{1}{r}\) .

按交点个数结合凸性和闭曲线分类讨论. 折线段 \(\{L_i\}_i\) 逼近曲线,通过刚体运动将中心置于原点,沿 \(e_1\) 放置,直线族 \(L_{\theta,p}:x^1\cos\theta+x^2\sin\theta=p\)\(L_i\) 相交的集合 \(S_i=\left\{(p,\theta)|0\le p\le \dfrac{l_i}{2}|\cos\theta|,0\le\theta<2\pi\right\}\) ,测度 \(\iint_{S_i}dpd\theta=2l_i\) 不随刚体运动变化,相交直线集合测度 \(2\sum\limits_i l_i=2l\) ,不计重数,忽略相切直线零测集,测度为弧长.

\(|x|\equiv R\) 求导,可设 \(x=\cos\theta N+\sin\theta B\) ,求导得 \(\tau=\theta'\) .

若参数表示 \(x(u)\in C^k(U),U\subset\mathbb{R}^2,k\ge 3\) ,则 \(H,K\in C^{k-2}(U)\) ,而 \(k_1,k_2=H\pm\sqrt{H^2-K}\) ,非脐点处 \(H^2>K\) ,故 \(k_1,k_2\in C^{k-2}(U)\) ,脐点处 \(k_1=k_2\in C^0(U)\) .

根据紧致定向闭二维曲面的Gauss-Bonnet公式

\[2\pi\chi(T)=\iint_MKdA=\iint_M \dfrac{\det(h)}{\sqrt{\det(g)}}du^1du^2=0. \]

事实上由亏格 \(g=1\) 直接得 \(\chi(T)=2(1-g)=0\) .

第二题是Do Carmo教材《曲线和曲面的微分几何》35页第5题,参考27页第14题.第三题参考Do Carmo教材1-7节四顶点定理和Cauchy-Crofton公式的证明.第四题是沈一兵教材《整体微分几何初步》2.3节球面曲线全挠率的定理2.7的简单的一半.第五题是陈维桓教材《微分几何初步》4.4节主方向和主曲率的计算的定理1.

总结

一如既往考察基础题,但很可惜由于知识点掌握的不熟练,考场上好多题都没做完整,再一次发挥失常。但是,谁也阻挡不了我对数学的热爱,当做题的时间拉长的无穷大,一切困难都将被战胜,加油。

原文链接:http://www.cnblogs.com/sxwlttsd/p/14933189.html

 友情链接: NPS