算法学习——动态规划之装载问题 - Stars-one

来源：cnblogs　　作者：Stars-one　　时间：2018/11/14 9:45:55　　对本文有异议

算法描述

两艘船各自可装载重量为c1，c2，n个集装箱，各自的重量为w[n]，设计一个可以装载的方案，使得两艘船装下全部集装箱

算法思路

将第一艘船尽量装满（第一艘船放的集装箱的重量之和接近c1），剩余的集装箱放入第二艘船，若剩余的集装箱重量之和大于第二艘船，则无解
定义一个一维数组，a[n] 存放对应的集装箱的重量
定义一个数组，m[i][j]表示第一艘船还可装载的重量j，可取集装箱编号范围为i，i+1...n的最大装载重量值

例如现在有3个集装箱重量分别为9，5，3,即a[1]=9 a[2]=5 a[3]=3

m[1][2]=0 可装载重量为2，此时上述的三个集装箱都不能装入，所以为最大可装载重量为0

m[1][3]=m[1][4]=3 可装载重量为3或者是4的时候，都是只能装入重量为3的那个集装箱，所以最大可装载重量为3 `

实际上，这里的3=a[3]+m[1][2]，是一个递推的关系，具体看下面`
m[i][j]分下面两种情况
- 0<=j<a[n] (当可装载重量j小于第n个集装箱的重量w[n]，此时就不能往船上装此集装箱) m[i][j] = m[i+1][j]
- j>=a[n] （可装载重量j大于或等于第n个集装箱的重量w[n]）,此时剩余的可装载重量为j-a[n](装入了此时的集装箱)，最大的可装载重量为m[i+1][j-w[n]]+w[n]
  
  但是我们是需要最大的可装载重量，所以得与如果不将当前集装箱装入的那种情况m[i+1][j]进行比较
  
  m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[n]+a[n]])
上面我们就获得了一个关于m[i][j]的递推关系，我们通过逆推获得全部的数值
- 初始值
  
  m[i][j]=0 这里的i=n j从0到a[n] 这里的a[n]是第n个集装箱重量（最后一个集装箱的重量）
  
  这里的赋值其实就是上述m[i][j]两种情况的第一种情况，最后一个集装箱的重量大于可装载重量，不装载此集装箱，所以最大可装载重量为0，
  
  m[i][j]=a[n] 这里的i=n j从a[n]到c1 这里的a[n]是第n个集装箱的重量（最后一个集装箱的重量）
  
  这里的意思为当可装载重量j只要都是大于最后一个集装箱的重量a[n]，即可装入此集装箱，所以最大可装载重量等于装入的集装箱的重量
- 开始逆推
  
  使用上述的递推公式进行逆推
```
  for (int i = n; i >= 1 ; i--) {
      for (int j = 1; j <=c1; j++) {
          if(j>=a[i]){
              m[i][j] = Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[i]]+a[i]);
          }else{
              m[i][j]=m[i+1][j];
          }
      }
  }
```
之后再进行输出，输出第一艘船的装载方案，输出第二艘船的装载方案

算法实现

    System.out.println("输入第一艘船可装载重量c1:");
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    int c1 = scanner.nextInt();
    System.out.println("输入第二艘船可装载重量c2：");
    int c2 = scanner.nextInt();
    System.out.println("输入集装箱个数n：");
    int n = scanner.nextInt();
    int[] a = new int[n+1];
    //使用一维数组存放集装箱重量
    System.out.println("依次输入集装箱的重量");
    for (int i =1; i < n+1; i++) {
        a[i] = scanner.nextInt();
    }
    int sum = 0;//集装箱重量总和
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        sum=sum+a[i];
    }
    //超重情况
    if(sum>c1+c2){
        System.out.println("集装箱重量之和大于两艘船可装载重量，题目无解");
        return;//结束程序
    }
    int[][] m = new int[100][100];//m[i][j]表示第一艘船还可装载的重量j，可取集装箱编号范围为i，i+1...n的最大装载重量值
    //赋初始值,由于是逆推，所以从末尾开始
    //可装载重量j小于第n个集装箱重量a[n]，不装此集装箱，赋值为0
    for (int j = 0; j < a[n]; j++) {
        m[n][j] = 0;
    }
    //可装载重量j大于或等于第n个集装箱重量a[n]，装载此集装箱，此时刻最大装载重量值为a[n]
    for (int j = a[n]; j <=c1 ; j++) {
        m[n][j]=a[n];
    }
    //关键逆推代码
    for (int i = n; i >= 1 ; i--) {
        for (int j = 1; j <=c1; j++) {
            if(j>=a[i]){
                m[i][j] = Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[i]]+a[i]);
            }else{
                m[i][j]=m[i+1][j];
            }
        }
    }
    int maxc1 = m[1][c1];//最大可装载重量
    System.out.println("maxc1="+maxc1);
    if(maxc1>sum-c2){
        int cw = m[1][maxc1];
        int sw,i;
        //输出第一艘船的装载
        System.out.println("第一艘船装载：");
        for (sw=0,i=1;i<=n;i++){
            if(m[i][cw]>m[i+1][cw]){
                cw = cw-a[i];
                sw=sw+a[i];//统计sw，sw的最终结果与maxc1相等
                System.out.print(a[i]+"     ");
                a[i]=0;//装载当前的集装箱
            }
        }
        System.out.print("("+sw+")");
        System.out.println("");
        //输出第二艘船的装载
        System.out.println("第二艘船装载：");
        for(sw=0,i=1;i<=n;i++){
            //已装载在第一艘船的集装箱a[i]都已经为0了,只需要将不为0的那些集装箱装入第二艘船即可
            if(a[i]!=0){
                System.out.print(a[i]+"     ");
                sw=a[i]+sw;
            }
        }
        System.out.println("("+sw+")");
    }else{
        System.out.println("无解");
    }