前置知识

Cpp实现

基础算法

// base method
bool basement(int num)
{
	for (int i = 2; i <= sqrt(num); ++i)
	{
		if (num % i == 0)
			return false;
	}
	return true;
}

证明

筛法初步

根据初等数学的知识，如果一个数不是2的倍数，那么它肯定不是2的倍数的倍数，所以，进一步的我们可以对上面的基础算法进行优化

// sieve first step
bool sieve2Method(int num)
{
	if (num == 2)
		return true;
	if (num % 2 == 0 || num < 2)
		return false;
	else
	{
		for (int i = 3; i * i <= num; i += 2)
		{
			if (num % i == 0)
			{
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
}

轮转筛法

6k ± 1 形式 或 轮换筛法（轮转筛法）（Wheel Factorization）。

轮转筛法的基本原理是利用模数（在这里是6）的性质来减少需要检查的数。具体到6k ± 1形式，这个形式背后的理由如下：

整数 n 可以表示为 6??+??，其中 ?? 是0到5之间的一个整数。
对于 ??=0,2,3,4，这些数都可以被2或3整除（即它们是合数）。
只有 ??=1 和 ??=5（即 6??+1 和 6???1）可能是质数。

bool isPrime_3(int num)
{
	if (num == 2 || num == 3)
		return 1;
	// 不在6的倍数两侧的一定不是质数
	if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
		return 0;
	int tmp = sqrt(num);
	// 在6的倍数两侧的也可能不是质数
	for (int i = 5; i <= tmp; i += 6)
		if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)
			return 0;
	// 排除所有，剩余的是质数
	return 1;
}

埃拉托斯特尼筛法生成素数表

根据上面我们的初步想法，我们可以进一步的将用于筛选的因子扩大。
但是，这种筛法的核心思想之一是：
如何确定筛选因子？
既然我们要做到高效，那么这些筛选因子之间的筛取最好没有重合，或者重合度很小，至少它不应该完全重复筛取，对吧？
考虑2,3,4这三个数。
经过简单运算，我们知道将3作为筛选因子，是可以筛取到2晒不出的数字的，比如说9，但是4，因为它有因子2，所以它所有筛取的数字，均早就被2筛取过了。
所以，我们应该选取素数作为筛取因子。

std::vector<bool> sieveOfEratosthenes(int n)
{
	std::vector<bool> isPrime(n + 1, true);
	isPrime[0] = isPrime[1] = false; // 0和1不是素数
	for (int p = 2; p <= std::sqrt(n); ++p)
	{
		if (isPrime[p])
		{
			for (int i = p * p; i <= n; i += p)
			{
				isPrime[i] = false;
			}
		}
	}
	return isPrime;
}

但是这里面还有一些实现细节，需要注意：

初始化0 1 索引为false，
p <= sqrt(n)
i = p * p

我们一个个来说，1 略
2 为什么p<=sqrt(n)，这样可以筛全吗？
是可以的，首先我们初始化值为false，这意味着我们只需要筛选出 1 ~ n中的合数即可。
又根据我们上面对于基本方法的循环范围的证明，所以，只要一个数是合数，那么它肯定会在2~ $\sqrt{ n }$ 之间
所以，我们可以通过反向推导，如果某一个因子，能够通过倍加自己，或者可以理解为以自己为步长进行步进，那么他肯定能够到达那些以它为因子的合数位置上。

3 为什么内层的i要初始化为 $p * p$ ,而不是 $p * 2$之类的
这是因为要防止和之前已经筛过的部分发生重合，比如3个2和2个3

欧拉筛法

从上面埃氏筛法，我们确立了可以通过筛取合数，从而反向获取素数的思路。但显然，它仍有优化的空间，那就是重复的筛取。而欧拉筛法正为此而生。

欧拉筛，又称线性筛，时间复杂度只有O(n)

在埃氏筛法的基础上，让每一个合数都只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复筛选的目的，大大地节省了时间，从埃氏筛的O(n2)降到O(n)级别

我们想要阻止重复标记的发生，就需要一种规则，也就是说只让标记以某一种特定的形式or规律被标记，在欧拉筛法中，这表现为，只用最小素因子去标记

为了知道最小素因子，我们很自然地需要一个表维护已知的素数

欧拉筛法正确性的证明

实现

vector<int> eulerSieve(int n)
{
	std::vector<bool> isPrime(n + 1, true);
	std::vector<int> primes;         // 素数集合
	isPrime[0] = isPrime[1] = false; // 0和1不是素数
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		if (isPrime[i])
		{
			primes.push_back(i);
		}
		for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j)
		{
			isPrime[i * primes[j]] = false;
			if (i % primes[j] == 0)
				break;
		}
	}
	return primes;
}

Miller-Rabin算法。
暂时不看~

Miller-Rabin算法

Miller-Rabin算法是一种概率性质数测试算法，可以用来判断一个大整数是否为质数。该算法基于数论中的一些深刻性质，其优点在于对大数的判断效率非常高。虽然它是一个概率算法，但通过多次测试，可以将错误率降到非常低。

Miller-Rabin算法步骤

Miller-Rabin算法基于Fermat小定理以及以下两个重要的数学性质：

如果 ?? 是一个质数，则对于任何整数 ?? 满足 $1≤??≤???1$，有 $??^{n-1} ≡ 1 mod????$。
如果 ?? 是一个奇质数，则存在一个唯一的表达式 $???1=2^{s}???$，其中 ?? 是一个奇数，$??≥1$。

具体步骤

将 ???1 表示为 $2^{s}???$:
- 例如，对于 ??=15n=15，我们有 ???1=14n?1=14，即 14=2?714=2?7，这里 ??=7d=7 和 ??=1s=1。
随机选择一个整数 ?? 其中$1 \le a \le n-1$
- 如果存在 $????≡1mod????$，则 ??n 可能是一个质数。
- 对于 ??=0,1,…,???1，如果存在 $??^{2?????}≡?1mod????$，则 ?? 可能是一个质数。
重复上述测试 k 次:
- 选择不同的 ?? 进行多次测试。
- 如果所有测试均通过，则 ?? 很可能是一个质数。
- 如果有一次测试失败，则 ?? 不是质数。

Miller-Rabin算法的伪代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
// 使用快速幂算法计算 (base^exponent) % mod
long long mod_exp(long long base, long long exponent, long long mod) {
    long long result = 1;
    base = base % mod;
    while (exponent > 0) {
        if (exponent % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
        exponent = exponent >> 1;
        base = (base * base) % mod;
    }
    return result;
}
// Miller-Rabin测试的核心函数
bool miller_test(long long d, long long n) {
    long long a = 2 + rand() % (n - 4); // 随机选择 2 <= a <= n-2
    long long x = mod_exp(a, d, n);
    if (x == 1 || x == n - 1) {
        return true;
    }
    while (d != n - 1) {
        x = (x * x) % n;
        d *= 2;
        if (x == 1) {
            return false;
        }
        if (x == n - 1) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}
// Miller-Rabin 素性测试
bool is_prime(long long n, int k) {
    if (n <= 1 || n == 4) {
        return false;
    }
    if (n <= 3) {
        return true;
    }
    // 将 n-1 表示为 2^s * d
    long long d = n - 1;
    while (d % 2 == 0) {
        d /= 2;
    }
    // 进行 k 次测试
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (!miller_test(d, n)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    srand(time(0)); // 初始化随机数生成器
    long long n;
    int k = 5; // 测试次数
    std::cout << "Enter a number to check if it is prime: ";
    std::cin >> n;
    if (is_prime(n, k)) {
        std::cout << n << " is a prime number." << std::endl;
    } else {
        std::cout << n << " is not a prime number." << std::endl;
    }
    return 0;
}

代码解析

快速幂算法：mod_exp函数用于计算 (????????????????????????)mod????????(baseexponent)modmod，以高效地进行大数幂运算。
Miller-Rabin测试的核心函数：miller_test函数进行一次Miller-Rabin测试，通过随机选择基数 ?? 并进行多次平方检验来判断 ?? 是否可能是质数。
素性测试函数：is_prime函数调用 miller_test 函数进行多次测试，以概率性的方式判断 ??n 是否为质数。